Question

【題目】如圖，點A在⊙O上，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，連接OP交⊙O于點D，作AB⊥OP于點C，交⊙O于點B，連接PB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若PC=9，AB=6，

①求圖中陰影部分的面積；

②若點E是⊙O上一點，連接AE，BE，當AE=6 時，BE=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①S陰影= 18﹣6π；②3﹣3 或3+3．

【解析】試題分析：（1）由PA切⊙O于點A得：∠PAO=90°，再證明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得結論；

（2）①先根據垂徑定理得：BC=3，根據勾股定理求圓的半徑OB的長，利用三角函數得：∠COB=60°，利用三角形的面積公式和扇形的面積公式分別求S△OPB和S扇形DOB的值，最后利用面積差得結論；

②②分兩種情況：

i）當點E在 上時，如圖2，作輔助線，構建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所對的圓周角與半徑及勾股定理分別計算EH和BH的長，相加即可得BE的長；

ii）當點E在劣弧上時，如圖3，作輔助線，同理計算EH和BH的長，最后利用勾股定理求BE的長．

試題解析：（1）如圖1，連接OB，

∵OP⊥AB，OP經過圓心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，

∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于點A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，

又∵點B在⊙O上，∴PB與⊙O相切于點B；

（2）①如圖1，∵OP⊥AB，OP經過圓心O，∴BC=AB=3，

∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，

∴ ,∴OC== =3，

∴在Rt△OCB中，OB= = =6，tan∠COB= =，

∴∠COB=60°，

∴S△OPB=×OP×BC=×（3+9）×3=18，S扇DOB= =6π，

∴S陰影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π；

②分兩種情況：

i）當點E在上時，如圖2，作直徑AF，交⊙O于F，連接EF、EB，過O作OG⊥AE于G，過F作FH⊥EB于H，∴EG=AG=AE=×6=3，

∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB=30°，∴∠BEF=∠OAB=30°，

Rt△OGE中，由①知：OA=6，∴OG= = =3，∴AG=OG，

∴△OGA是等腰直角三角形，∴∠OAE=45°，∴∠EBF=∠OAE=45°，

∵AF是⊙O的直徑，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AE=6，

Rt△EHF中，∠BEF=30°，∴FH=EF=3，

∴EH= = =3，

Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH=FH=3，

∴BE=3+3，

ii）當點E在劣弧上時，如圖3，

作直徑AF，并⊙O于F，連接OB、OE、BF，過B作BH⊥OE于H，

∵AF為⊙O的直徑，∴∠ABF=90°，

∵∠BAF=30°，∴∠F=∠BOF=60°，

∵OA=OE=6，AE=6，∴OA2+OE2=AE2，∴∠AOE=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB=30°，

Rt△OHB中，BH=OB=3，∴OH==3，∴EH=6﹣3，

∴BE= = =3﹣3；

綜上所述，BE的長為3+3或3﹣3；

故答案為：3﹣3 或3+3．