Question

如圖，C為線段BD上一點（不與點B，D重合），在BD同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點F，AD與CE交于點H，BE與AC交于點G．
（1）求證：BE=AD；
（2）求∠AFG的度數；
（3）求證：CG=CH．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得出AC=BC．CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根據SAS證△BCE≌△ACD，推出AD=BE即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的性質得到∠1=∠2．由三角形外角的定義得到：∠1+∠3=∠4=60°，則∠2+∠3=60°．根據三角形內角和定理可以求得∠AFG=60°；
（3）通過證明△ACH≌△BCG（ASA），來證得CG=CH（也可以通過證明△CGE≌△CHD）．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEC是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠4=∠5=60°，
∴∠4+∠6=∠5+∠6，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD    CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：∵由（1）知，△BCE≌△ACD，則∠1=∠2．
∵∠1+∠3=∠4=60°，
∴∠2+∠3=60°
∴∠AFG=60°；

（3）證明：∵∠4=∠5=60°
∴∠6=60°
∴∠6=∠4，
在△ACH與△BCG中，

∠6=∠4 AC=BC ∠2=∠1

，
∴△ACH≌△BCG（ASA），
∴CG=CH（也可以通過證明△CGE≌△CHD）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．