Question

如圖①，C為線段BD上一動點，分別過點B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設BC=x．

（1）當BC的長為多少時，點C到A、E兩點的距離相等？
（2）用含x的代數式表示AC+CE的長；問點A、C、E滿足什么條件時，AC+CE的值最小？
（3）如圖②，在平面直角坐標系中，已知點M（0，4），N（3，2），請根據（2）中的規律和結論構圖在x軸上找一點P，使PM+PN最小，求出點P坐標和PM+PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）當點C到A、E兩點的距離相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；
（3）根據在直線OX上的同側有兩個點M、N，在直線OX上有到M、M的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線OX的對稱點，對稱點與另一點的連線與OX的交點就是所要找的P．再利用勾股定理計算即可．

解答：解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）²+1²，
解得：x=

5

2

，
∴當BC=

5

2

時，點C到A、E兩點的距離相等；

（2）AC+CE=

x2+25

+

x2-16x+65

，
當A、C、E在同一直線上，AC+CE最小；

（3）如圖所示：P（2，0），
∵PM=

OP 2+OM 2

=

20

=2

5

，
PN=

1 2+22

=

5

，
∴PM+PN最小值為 3

5

．

點評：本題利用了數形結合的思想，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解和利用軸對稱求最短路線問題．