Question

【題目】學(xué)習(xí)與探究：

在等邊△ABC中，P是射線AB上的一點(diǎn)．

（1）探索實(shí)踐：

如圖1，P是邊AB的中點(diǎn)，D是線段CP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊向右側(cè)作等邊△CDE，DE與BC交于點(diǎn)M，連結(jié)BE．

①求證：AD＝BE；

②連結(jié)BD，當(dāng)DB+DM最小時(shí)，試在圖2中確定D的位置，并說(shuō)明理由；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

③在②的條件下，求△CME與△ACM的面積之比．

（2）思維拓展：

如圖3，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線上，連接CP，點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B'，連結(jié)AB'，CB'，AB'交BC于點(diǎn)N，交直線CP于點(diǎn)G，連結(jié)BG．請(qǐng)判斷∠AGC與∠AGB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析，③1:3；（2）∠AGC＝∠AGB，理由見(jiàn)解析

【解析】

1）探索實(shí)踐

①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，可得∠ACD＝∠BCE，根據(jù)“SAS”可證△ACD≌△BCE，即可得AD＝BE；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝BD，即BD+DM＝AD+DM，則當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)M三點(diǎn)共線且AM⊥BC時(shí)，BD+DM值最小，即AM平分∠CAB；

③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求AM＝3ME，由△CME與△ACM是等高的兩個(gè)三角形，即△CME與△ACM的面積之比等于ME與AM的比值；

（2）思維拓展

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB'＝∠CBG，可證點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)G，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AGB＝∠ACB＝60°，即∠AGC＝∠AGB．

（1）探索實(shí)踐

①在等邊△ABC與等邊△CDE中：AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD+∠DCM＝∠DCM+∠BCE，

∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE

（2）②如圖，作∠BAC的平分線交CP于D，連結(jié)BD，

∵P是邊等邊△ABC中AB邊的中點(diǎn)

∴CP是AB邊上的中線，

由“等腰三角形的三線合一”性質(zhì)知，CP是AB的垂直平分線，CP平分∠ACB，

∴DB＝DA，∠PCB＝30°

要使DB+DM最小，只要DA+DM最小，即當(dāng)A，D，M共線時(shí)，且AM⊥BC時(shí)，AM最小，

此時(shí)DB+DM最小

③∵∠ACD＝∠CAD＝∠DCM＝∠ECM＝30°，CM⊥AM

∴DC＝DA＝DE，DM＝EM＝DE，

∴AM＝3ME

又∵Rt△CME的邊ME上的高與Rt△ACM的邊AM上的高均是CM

∴S△CME：S△ACM＝1：3

（2）思維拓展

∠AGC＝∠AGB

理由如下：∵點(diǎn)B關(guān)于直線CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B'，

∴BC＝CB'，∠CB'G＝∠CBG，

∴AC＝BC＝B'C

∴∠CAB'＝∠CB'A，

∴∠CAB'＝∠CBG，

∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)G，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

∴∠AGC＝∠ABC＝60°，∠AGB＝∠ACB＝60°，

∴∠AGC＝∠AGB