Question

【題目】（1）如圖1：在四邊形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是　 　；

（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF＝BE+FD，請寫出∠EAF與∠DAB的數量關系，并給出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF，理由見解析；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB，見解析

【解析】

（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，證明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案；

（2）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，證明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案；

（3）在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，證明△ADG≌△ABE和△AEF≌△AGF即可得出答案．

解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：

如圖1，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，

∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．

故答案為：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；

（2）仍成立，理由：

如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

又∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；

（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．

證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠ADC＝∠ABE，

又∵AB＝AD，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，

∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠FAE＝∠FAG，

∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，

∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，

即2∠FAE+∠DAB＝360°，

∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．