Question

如圖，已知拋物線經過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=2x+1經過拋物線上一點B（m，-3），且與y軸、直線x=2分別交于點D，E．
（1）求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成y=a（x-h）²+k的形式；
（2）求證：CD⊥BE；
（3）在對稱軸x=2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：∵已知拋物線的對稱軸為x=2，
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k，
又∵直線y=2x+1經過點B（m，-3），
∴-3=2m+1，解得，m=-2，
∴點B（-2，-3），
又∵二次函數y=a（x-2）²+k的圖象經過0（0，0），B（-2，-3），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為．

（2）證明：由題意解方程組，
得
∴點E的坐標為（2，5），∴CE=5．
過點B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線x=2于H，交y軸于點Q，
∵點B（-2，-3），D（0，1），
∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4．
在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中，
由勾股定理得BE=，BD=，BC=
∴BD=BE，
又∵EC=5，
∴BC=CE，
∴CD⊥BE．

（3）解：結論：存在點P，使△PBE是直角三角形．
①當∠BPE=90°時，點P與（2）中的點H重合，
∴此時點P的坐標為（2，-3）；
延長BH與過點A（4，0）且與x軸垂直的直線交于M，
則；
②當∠EBP=90°時，設點P（2，y），
∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）），
∴BH=4，EH=8，PH=-3-y．
在Rt△PBE中，BH⊥PE，
可證得△BHP∽△EHB，，即，
解得y=-5，
此時點P的坐標為（2，-5）．
過點P與x軸平行的直線與FB的延長線交于點N，
則．
綜合①，②知點P的坐標為（2，-3），△PAB的面積為6；或點P的坐標為（2，-5），△PAB的面積為12．
分析：（1）由對稱軸設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k，由直線y=2x+1經過點B（m，-3），可以求出m的值，求出B點的坐標，從而可以求出拋物線的解析式．
（2）利用直線BE的解析式和對稱軸求出E的坐標，求出CE的值，過點B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線x=2于H，交y軸于點Q，利用勾股定理可以求得△BCE是等腰三角形，且BD=DE，由等腰三角形的性質就得出結論．
（3）①當∠BPE=90°時，點P與（2）中的點H重合，可以求出P點的坐標，△PAB的面積；當∠EBP=90°時，設點P（2，y），利用△BHP∽△EHB可以求出點P的坐標，從而求出△PAB的面積．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積，勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質．