Question

如圖①，為⊙的直徑，與⊙相切于點,與⊙相切于點，點為延長線上一點，且CE=CB．
 
(1)求證：為⊙的切線；
(2)如圖②，連接AE,AE的延長線與BC的延長線交于點G．若，求線段BC和EG的長．

Answer 1

（1）連接OE、OC，先根據“SSS”證得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再結合DE為⊙O的切線即可證得結論；（2），

試題分析：（1）連接OE、OC，先根據“SSS”證得△OBC≌△OEC，即得∠OBC=∠OEC，再結合DE為⊙O的切線即可證得結論；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，先根據切線的性質可得DA=DE，CE=CB，設BC為，則CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中根據勾股定理即可列方程求得x的值，根據平行線的性質可得∠DAE=∠EGC，再根據等邊對等角可得∠DAE=∠AED，即可得到∠ECG=∠CEG，從而可以求得BG的長，再根據勾股定理即可AG的長，然后證得△ADE∽△GCE，根據相似三角形的性質即可求得結果.
（1）連接OE、OC

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OBC≌△OEC
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE與⊙O相切于點
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC為⊙的切線；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，

∵AD、DC、BG分別切⊙O于點A、E、B
∴DA=DE，CE="CB"
設BC為，則CF=x-2，DC=x+2
在Rt△DFC中，
解得 
∵AD∥BG
∴∠DAE=∠EGC          
∵DA=DE
∴∠DAE=∠AED         
∵∠AED=∠CEG   
∴∠ECG=∠CEG
∴CG=CE=CB=
∴BG=5
∴ 
∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG
∴△ADE∽△GCE
∴，即，解得.
點評：在證明切線的問題時，一般先連接切點與圓心，再證明垂直即可.