Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，P是直線BC上一點．

(1) 若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；

(2) 在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸的平面直角坐標系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長為2，AO=，在x軸上是否存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）P1（--1，0），P2（0，0）P3（+1，0）

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質即可證明；（2）分三種情況討論：①若點P在x軸負半軸上，②若點P在x軸上，③若點P在x軸正半軸上，分別進行求解即可.

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵BD是中線

∴∠DBC=30°

∵CP=CD

∴∠CPD=∠CDP

又∵∠ACB=60°

∴∠CPD=30°

∴∠CPD=∠DBC

∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．

(2) 解：在x軸上存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形

①若點P在x軸負半軸上，且BP=BD

∵BD=∴BP=

∴OP=+1

∴點P1（--1，0）

②若點P在x軸上，且BP=PD

∵∠PBD=∠PDB=30°

∴∠DPC=60°又∠PCD=60°

∴PC=DC=1

而OC=1

∴OP=0

∴點P2（0，0）

③若點P在x軸正半軸上，且BP=BD

∴BP=而OB=1

∴OP=+1

∴點P3（+1，0）