Question

【題目】如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED＝∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）求證：DE平分∠BEP；

（3）若⊙O的半徑為10，CF＝2EF，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE＝16．

【解析】

（1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線，只需推知OE⊥PE即可；

（2）由圓周角定理得到 ，根據“同角的余角相等”推知 ，結合已知條件證得結論；

（3）設 ，則 ，由勾股定理可求EF的長，即可求BE的長．

（1）如圖，連接OE．

∵CD是圓O的直徑，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

又∵ ，即 ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

又∵點E在圓上，

∴PE是⊙O的切線；

（2）∵AB、CD為⊙O的直徑，

∴ ，

∴ （同角的余角相等）．

又∵ ，

∴ ，

即ED平分∠BEP；

（3）設 ，則 ，

∵⊙O的半徑為10，

∴ ，

在Rt△OEF中， ，即 ，

解得 ，

∴ ，

∴ ．