Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達(dá)點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設(shè)運動時間為t秒．

（1）當(dāng)t=時，點P與點Q相遇；
（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當(dāng)t為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設(shè)△PCQ的面積為S平方單位．
①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)S最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）7
（2）

解：Q從C到A的時間是2秒，P從B到C的時間是3秒．

則當(dāng)0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1s．

當(dāng)2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH= PC．△AQH∽△ABC，

∵BC=3，AB=5，QH⊥AC，

∴ = = ，

∴QH= AQ，

在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，則QH= AQ= ．

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴ （2t﹣4）= （3﹣t），

解得：t= s；

綜上所述，t=1s或 s

（3）

解：①連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點O，過Q作QE⊥CA于點E，過O作OF⊥CA于點F，

則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．

同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是： （14﹣2t），

故S= （t﹣3）× （14﹣2t）= （﹣t2+10t﹣21）．

②故當(dāng)t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點．（如圖2）．

∵沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，

∴PD一定是AC的中垂線．

則AP= AC=2，PD= BC= ，

AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．

則PC邊上的高是： AQ= ×4= ．

∵∠COF=∠CDP=∠B，

所以，在Rt△COF中，tan∠COF= ，設(shè)OF為x，

則利用三角函數(shù)得CF= ，PF=2﹣ ，

則QE= ，AE= ，

∴PE=AE﹣AP= ，

∵△POF∽△PQE，

∴ = ，

解得：x= ，

S△PCO= ×2× = ．

【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC= =4，
則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時間是4.5秒．此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根據(jù)題意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7s．
【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．