Question

【題目】學以致用：問題1：怎樣用長為的鐵絲圍成一個面積最大的矩形？

小學時我們就知道結論：圍成正方形時面積最大，即圍成邊長為的正方形時面積最大為．請用你所學的二次函數的知識解釋原因．

思考驗證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個面積為且周長最小的矩形？

小明猜測：圍成正方形時周長最小．

為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：

結論：在、均為正實數）中，若為定值，則，當且僅當時，有最小值．

均為正實數）的證明過程：

對于任意正實數、，,,

，當且僅當時，等號成立。

解決問題：

（1）若，則　　（當且僅當　　時取“” ；

（2）運用上述結論證明小明對問題2的猜測；

（3）當時，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）4，2；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）根據題意，由，當且僅當時，等號成立；即可解決問題；

（2）設矩形的長、寬分別為x、y，由題意得xy=9，再根據公式證明當x=y時，x+y有最小值，進而得結論；

（3）把轉化為的形式，再根據公式進行解答便可．

解：（1），

∴，

∴當時，即時，

∴，即；

故答案為：4；2．

（2）設矩形的長、寬分別為m、m，由題意得，則

，即，

當時，取最小值為6，

此時矩形的周長最小為：；

時，矩形變為正方形，

∴鐵絲圍一個面積為且周長最小的矩形，所圍成正方形時周長最小；

（3），

，

，，

，即，

當時，即時，

取最小值為：．