Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的對稱軸為直線x＝－1，且經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為B.

（1）若直線y＝mx＋n經過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標；（3）設點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）M（－1，2）；（3）滿足條件的點P共有四個,分別為（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝－1，且經過A（1，0），C（0，3）兩點，可得方程組，解方程組可求得a、b、c的值，即可得拋物線的解析式；根據拋物線的對稱性和點A的坐標（1，0）可求得B點的坐標（－3，0），用待定系數法可求得直線BC的解析式；（2）使MA+MC最小的點M應為直線BC與對稱軸x＝－1的交點，把x=-1代入直線BC的解析式求得y的值，即可得點M的坐標；（3）分①B為直角頂點，②C為直角頂點，③P為直角頂點三種情況分別求點P的坐標．

試題解析：（1）依題意，得 解之，得

∴拋物線解析式為．

∵對稱軸為x＝－1，且拋物線經過A（1，0），

∴B（－3，0）．

把B（－3，0）、C（0，3）分別直線y＝mx＋n，得

解之，得

∴直線BC的解析式為．

（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.

∴使MA+MC最小的點M應為直線BC與對稱軸x＝－1的交點.

設直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，把x＝－1

代入直線，得y＝2.

∴M（－1，2）

（3）設P（－1，t），結合B（－3，0），C（0， 3），得BC2＝18，

PB2＝（－1＋3）2＋t2＝4＋t2，

PC2＝（－1）2＋（t－3）2＝t2－6t＋10.

①若B為直角頂點，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.

解之,得t＝－2.

②若C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即

18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．

③若P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即

4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．

綜上所述，滿足條件的點P共有四個,分別為（－1，－2）, （－1，4）, （－1，） ,（－1，）．