Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求證：CD=DF

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F．根據(jù)同角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；由ASA證明△BCD≌△ACF，得出AF=BD，AE=AF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BF，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BD是∠ABC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．

證明：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F. 如圖所示：

∵AE⊥BE，

∴∠BEA=90°，

又∠ACF=∠ACB=90°，

∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠DBC=∠FAC，

在△ACF和△BCD中,

，

∴△ACF≌△BCD(ASA)，

∴AF=BD.

又AE=BD，

∴AE=AF，即點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，

∴AB=BF，

∴BD是∠ABC的角平分線，

∵∠C=90°，DF⊥AB于F，

∴CD=DF.