Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）

（1）當k= 時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標；
（2）求證：關于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于C點，P是y軸負半軸上一點，且OP=1，直線AP交BC于點Q，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將k= 代入二次函數(shù)可求得，

y=x2﹣2x+

=（x﹣1）2﹣ ，

故拋物線的頂點坐標為：（1，﹣ ）

（2）

解：∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0，

∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴關于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有兩個不相等的實數(shù)根

（3）

解：由題意可得：點P的坐標為（0，﹣1），

則0=x2﹣（2k+1）x+k2+k

0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），

故A（k，0），B（k+1，0），

當x=0，則y=k2+k，

故C（0，k2+k）

則AB=k+1﹣k=1，OA=k，

可得

，

yBC=﹣kx+k2+k，

當 x﹣1=﹣kx+k2+k，

解得：x=k+ ，

則代入原式可得：y= ，

則點Q坐標為

運用距離公式得：AQ2=（ ）2+（ ）2= ，

則OA2=k2，AB2=1，

故 +1= = ，

則 ．

【解析】（1）直接將k的值代入函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標；（2）利用根的判別式得出△=1，進而得出答案；（3）根據(jù)題意首先表示出Q點坐標，以及表示出OA，AB的長，再利用兩點之間距離求出AQ的長，進而求出答案．此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和配方法求二次函數(shù)頂點坐標和兩點之間距離求法等知識，正確表示出Q點坐標是解題關鍵．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用求根公式和兩點間的距離的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．