Question

【題目】如圖，線段 AB=24，動點 P 從 A 出發，以每秒 2 個單位的速度沿射線 AB運動，運動時間為 t 秒（t>0），M 為 AP 的中點.

（1）當點 P 在線段 AB 上運動時，

①當 t 為多少時，PB=2AM？②求2BM-BP的值.

（2）當 P 在 AB 延長線上運動時，N 為 BP 的中點，說明線段 MN 的長度不變，并 求出其值.

（3）在 P 點的運動過程中，是否存在這樣的 t 的值，使 M、N、B 三點中的一個點 是以其余兩點為端點的線段的中點，若有，請求出 t 的值；若沒有，請說明理 由.

Answer 1

【答案】（1）①6②24（2）12（3）18或36

【解析】試題分析：（1）①分兩種情況討論：點P在點B左邊；點P在點B右邊，分別求出t的值即可；

②AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化簡即可得出結論；

（2）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，表示出MN的長度，即可得到結論；

（3）分三種情況討論：①當P在線段AB上時；②當P在線段AB的延長線上，M在線段AB上時；③當P和M都在線段AB的延長線上時．

試題解析：解：（1）①設出發x秒后PB=2AM，當點P在點B左邊時，PA=2x，PB=24﹣2x，AM=x，由題意得：24﹣2x=2x，解得：x=6；

當點P在點B右邊時，PA=2x，PB=2x﹣24，AM=x，由題意得：2x﹣24=2x，方程無解．

綜上所述：出發6秒后PB=2AM．

②∵AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，∴2BM﹣BP=2（24﹣x）﹣（24﹣2x）=24；

（2）∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，∴MN=PM﹣PN=x﹣（x﹣12）=12（定值）；

（3）①當P在線段AB上時，如圖1，有AP=2t，BP=24-2t，AM=MP=t，PN=NB=12-t，MN=12．若MN=NB，則12=12-t，解得t=0，不合題意，舍去．

②當P在線段AB的延長線上，M在線段AB上時，如圖2，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=24-t， PN=NB=t-12．若MB=NB，則24-t=t-12，解得t=18．

③當P和M都在線段AB的延長線上時，如圖3，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=t-24， PN=NB=t-12，MN=BN-BM=t-12-（t-24）=12．若MB=MN，則t-24= 12，解得t=36．

綜上所述：t=18或36．