Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，動點D從點A出發以每秒3個單位的速度運動至點B，過點D作DE⊥AB交射線AC于點E．設點D的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）線段AE的長為 ． （用含t的代數式表示）
（2）若△ADE與△ACB的面積比為1：4時，求t的值．
（3）設△ADE與△ACB重疊部分圖形的周長為L，求L與t之間的函數關系式．
（4）當直線DE把△ACB分成的兩部分圖形中有一個是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）5t
（2）

解：方法一：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，AC=3，BC=4，

∴DE=4t．

∴ ．

∵ ，

∵ ，

∴ ．

∴ （舍）

∴t的值為 ．

方法二：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵ ，

∴ ．

∵AC=3，AD=3t，

∴2×3t=3，t=

（3）

解：由（2）得：△ABC∽△AED，

∴ ．

∵AD=3t，

∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，

∴當 時，L=3t+4t+5t=12t．

∴L=12t．

當 時，如圖，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴ ．

∵BD=5﹣3t，

∴ ．

∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，

∴∠B=∠E，

∵∠FCE=∠BCA

∴△BCA∽△ECF，

∴ ．

∵CE=5t﹣3，

∴ ．

．

∴

（4）

解：由（1）知，AE=5t，DE=4t，

∴CE=3﹣5t，

當DE=CE時，四邊形BCED是軸對稱圖形，

∴4t=3﹣5t，

∴t= ，

當DE和BC相交于F，AD=AC時，四邊形ACFE是軸對稱圖形，

∵AD=3t，AC=3，

∴3t=3，

∴t=1．

即：滿足條件的時間t為 或1

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，tanA= =
由題意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA= = = ，
根據勾股定理得，AE=5t．
所以答案是5t；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和相似三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．