Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-3，-1），且知點P（-1，-3）是反比例函數圖象上的點：
（1）分別求出正比例函數和反比例函數的解析式；
（2）作PA⊥x軸，垂足為A，當點Q在直線MO上運動時，作QB⊥y軸，垂足為B，問：直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的?OPCQ，求?OPCQ周長的最小值以及取得最小值時點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）設正比例函數解析式為y=kx，將點M坐標代入可得k的值，同理代入數據可得反比例函數的關系式，
（2）設點Q的坐標為Q（m，

1

3

m)，由△OBQ與△OAP面積相等，可得關系式，進而可得m的值，代入可得Q₁與Q₂的坐標；
（3）因為四邊形OPCQ是□，所以OP=CQ，OQ=PC，可得P的坐標，設點Q的坐標為Q（n，

3

n

），分析可得求□OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，進而可得OQ的二次關系式，解可得答案．

解答：解：（1）設正比例函數解析式為y=kx，將點M坐標代入得k=

1

3

，
所以正比例函數解析式為y=

1

3

x；
同樣可得，反比例函數解析式為y=

3

x

．

（2）當點Q在直線MO上運動時，設點Q的坐標為Q（m，

1

3

m），
由S_△OBQ=

1

2

|OB•BQ|=

1

2

×|

1

3

m•m|=

1

6

m2，
而S_△OAP=

1

2

×1×3=

3

2

，
∴

1

6

m2=

3

2

，解得：m=±3，所以點Q的坐標為Q₁（3，1）和Q₂（-3，-1）．

（3）因為四邊形OPCQ是?，所以OP=CQ，OQ=PC，
∵P（-1，-3）是定點，OP是定長，所以求?OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，

3

n

），
由勾股定理可得：OQ²=n2+

9

n2

．
配方得OQ²=(n-

3

n

)2+6，當n=

3

n

即n=±

3

時，OQ²有最小值6，這時Q（

3

，

3

），
又因為OQ為正值，所以OQ有最小值

6

．
由勾股定理得OP=

10

，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2(

10

+

6

)．

點評：本題考查了反比例函數的圖象的性質以及其與直線的關系，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．