Question

【題目】已知，如圖1，在 中，AC=BC，點D是邊AB的中點，E，F分別是AC和BC的中點，分別以CE，CF為一邊向上作兩個全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次連結DG、DM、GM。

（1）求證： 是等腰三角形。
（2）如圖2，若將上圖中的兩個全等的矩形改為兩個全等的正三角形（ 和 )，其他條件不變。請探究 的形狀，并說明理由。

（3）若將上圖中的兩個全等的矩形改為兩個正方形，并把 中的邊BC縮短到如圖3形狀，請探究 的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形CEGH和CFMN是全等的矩形，

∴CE=CF，EG=FM，∠GEC=∠MFC= 90°．

連接DE、DF，如圖1．

∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，

∴DE∥BC，且DE=CF=BC；

DF∥AC，且DF=CE=AC．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴ ∠DEC=∠DFC．

又∵∠GEC=∠MFC，∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，∴DE=DF.

∴△DEG ≌ △DFM（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

（2）

解：△DGM是等邊三角形．

證明：∵△CEG和△CFM是全等的等邊三角形，

∴CE =EG =CG=CF=FM=CM，∠GEC =∠MFC = 60°．

連接DE、DF，如圖2．

∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，

∴DE∥BC，且DE = CF

=BC，DF∥AC，且DF = CE =AC．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴ ∠DEC =∠DFC．

又∵∠GEC =∠MFC，∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，∴DE=DF.

∴△DEG ≌ △DFM（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

又∵∠GCM+∠ACB=360°-60°-60°=240°

∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=60°+180°=240°

∴∠GCM=∠GED

又DE=CF=CM，EG=CG

∴△GED≌ △GCM（SAS）．

∴GM=GD

∴△DGM是等邊三角形．

（3）

解：△DGM是等腰直角三角形．

顯然，由（1）(2)易得△DEG≌ △MFD（SAS）

∴DG=DM，∠DGE=∠MDF

∵DF∥AC

∴∠CED+∠EDF=180°

即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=180°

又由三角形內角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=180°

∴∠GDM=∠GEC=90°

∴△DGM是等腰直角三角形.

【解析】三個小題都要證明△DFM≌ △DFM（SAS），證明方法類似；再根據全等的性質和每小題的不同點證明得到答案.
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和矩形的性質的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．