Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=﹣x+b交y軸于A（0，1），交x軸于點B．過點E（1，0）作x軸的垂線EF交AB于點D，P是直線EF上一動點，且在點D的上方，設P（1，n）．

（1）直線AB的表達式為__________________；

（2）①求△ABP的面積（用含n的代數式表示）；

②當S△ABP=2時，求點P的坐標；

③在②的條件下，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，請直接寫出點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x+1；(2)①S△ABP=；②P（1，2）；③（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

（1）把A的坐標代入直線AB的解析式即可求得b的值，由此即可求得直線AB的解析式；（2）①過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，再求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即為△ABP的面積；②當S△ABP=2時，代入①中所得的代數式，求得n值，即可求得點P的坐標；③分P是直角頂點且BP=PC、B是直角頂點且BP=BC 、C是直角頂點且CP=CB三種情況求點C的坐標即可．

（1）∵y=-x+b經過A（0，1），

∴b=1，

∴直線AB的解析式是y=-x+1；

故答案為：y=-x+1；

（2）①過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時，y=-x+1=，P在點D的上方，

∴PD=n-，S△APD=PDAM=×1×（n ）=n ，

由點B（3，0），可知點B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，

∴S△BPD=PD×2=n-，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1；

②當S△ABP=2時，n-1=2，

解得n=2，

∴點P（1，2）．

③∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，

過點C作CN⊥直線x=1于點N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

在△CNP與△BEP中， ，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）．

第2種情況，如圖2，∠PBC=90°，BP=BC，

過點C作CF⊥x軸于點F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°，

在△CBP與△PBE中， ，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）．

第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP=45°，

∵∠EPB=∠EBP=45°，

∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，

∴四邊形EBCP為矩形，

∵CP=CB，

∴四邊形EBCP為正方形，

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點C的坐標是（3，4）或（5，2）或（3，2）．