Question

在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（-2,0）和點B，與y軸交于點C（0,），線段AC上有一動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，線段AB上有另一個動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向點A移動，兩動點同時出發，設運動時間為t秒.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△AOC相似?如果存在，請求出對應的t的值;如果不存在，請說明理由.
（3）在y軸上有兩點M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請直接寫出相應的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

Answer 1

（1）；（2）存在，或；（3），，AM+MN+NP的最小值為.

解析試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，將A（-2,0），C（0,）代入到得方程組，求解即可得該拋物線的解析式.
（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況討論即可.
（3）根據軸對稱的性質求解即可.
（1）把A（-2,0），C（0,）代入到，得[
，，解得：.
∴該拋物線的解析式為：.
（2）存在.
在中，令y=0，則，∴B（2,0）.∴AB=4.
∴AP="t" ，AQ=.
在Rt△AOC中，∵AO=2，OC=，∴根據勾股定理得AC=4.
∴.
若∠APQ=90°，則，
∴，即，解得.
若∠AQP=90°，則.
∴，即，解得.
綜上所述，當或時，以A，P，Q為頂點的三角形與△AOC相似。
（3），，AM+MN+NP的最小值為.
考點：1.雙動點問題；2.二次函數綜合題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.勾股定理；5.銳角三角函數定義；6.相似三角形的判定和性質；7.軸對稱的應用（最短路線問題）；8.分類思想的應用.