Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點P（n，2），與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，且AC＝BC．

（1）求一次函數、反比例函數的解析式；

（2）根據圖象直接寫出kx+b＜的x的取值范圍；

（3）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）．

【解析】

（1）先根據題意得出P點坐標，再將A、P兩點的坐標代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函數的解析式，把點P（4，2）代入反比例函數y=即可得出m的值，進而得出結論；

（2）利用圖象法，寫出反比例函數圖象想一次函數圖象的上方的自變量的取值范圍即可；

（3）根據PB為菱形的對角線與PC為菱形的對角線兩種情況進行討論即可．

（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點，即OA＝OB＝4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y＝kx+b得：，

解得：，

∴一次函數解析式為y＝x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式為y＝．

（2）觀察圖象可知，kx+b＜時，x的取值范圍0＜x＜4．

（3）如圖所示，

∵點C（0，1），B（4，0）

∴BC＝，PC＝，

∴以BC、PC為邊構造菱形，

當四邊形BCPD為菱形時，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x軸，P（4，2），

∴點D（8，1）．

把點D（8，1）代入y＝，得左邊＝右邊，

∴點D在反比例函數圖象上．，

∵BC≠PB，

∴以BC、PB為邊不可能構造菱形，

同理，以PC、PB為邊也不可能構造菱形．

綜上所述，點D（8，1）．