Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸是x=1， 并且經過點（－2，－5）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設此拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C點，D是線段BC上一點（不與點B、C重合），若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似，求點D的坐標；

（3）點P在y軸上，點M在此拋物線上，若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點M的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線的解析式為;(2)(，)，（1，3）（3）（2，3）、（4，-5）、（-4，-21）.

【解析】

（1）根據待定系數法列出方程組，求出a、b的值即可；（2）根據拋物線解析式求出與x軸、y軸的交點，根據相似三角形的性質列出比例式，結合勾股定理解答即可；（3）畫出圖形，根據平行四邊形的性質可得M點坐標.

（1）題意，得

解這個方程組，得

∴ 拋物線的解析式為

（2）令， 得.

解這個方程得，．

令．

所以AB=4，OB=0C=3，,所以．

過點D作DE⊥x軸于點E．

∵,BE=DE．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，

已有∠ABC＝∠OBD， 則只需成立．

若成立，

則有BD＝．

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝．

∴BE＝DE＝．

∴OE＝OB－BE＝3－．

∴點D的坐標為（）．

若成立，則有BD＝.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2＋DE2＝2BE2＝BD2＝（2）2．

∴BE＝DE＝2．

∴OE＝OB－BE＝3－2＝1．

∴點D的坐標為（1,2）．

∴點D的坐標為（）或（1,2）．

（3）點M的坐標為（2,3）或（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）．