Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣ x+2與拋物線y=a （x+2）2相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點．

（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設線段PM的長為l，點P的橫坐標為x，請求出l2與x之間的函數關系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A的坐標是（0，2），拋物線的解析式是y= （x+2）2．

聯立直線與拋物線解析式可得B點坐標為（﹣5， ）

（2）

解：如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM，

過點P作PD⊥x軸于點D，

設P的坐標是（x，﹣ x+2），則在Rt△PDM中，

PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣ x+2）2= x2+2x+8，

P為線段AB上一個動點，故自變量x的取值范圍為：﹣5＜x＜0，

答：l2與x之間的函數關系是l2= x2+2x+8，自變量x的取值范圍是﹣5＜x＜0．

（3）

解：存在滿足條件的點P，

連接AM，

由題意得，AM= =2 ，

①當PM=PA時， x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2，

解得：x=﹣4，

此時y=﹣ ×（﹣4）+2=4，

∴點P1（﹣4，4）；

②當PM=AM時， x2+2x+8=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2=0（舍去），

此時y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點P2（﹣ ， ），

③當PA=AM時，x2+（﹣ x+2﹣2）2=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2= （舍去），

此時y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點P3（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點為：

P1（﹣4，4）、P2（﹣ ， ）、P3（﹣ ， ），

答：存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標是（﹣4，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）把x=0代入求出A的坐標，求出直線與拋物線的交點坐標即可；（2）過點P作PD⊥x軸于點D，設P的坐標是（x，﹣ x+2），根據勾股定理求出x即可；（3）連接AM，求出AM，①當PM=PA時，根據勾股定理得到 x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 求出方程的解即可；同理②當PM=AM時，求出P的坐標；③當PA=AM時，求出P的坐標．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．