Question

（2013•蕭山區模擬）如圖，點P是雙曲線y=

4 3

x

（x＞0）上動點，在y軸上取點Q，使得以P、Q、O 為頂點的三角形是含有30°角的直角三角形，則符合條件的點Q的坐標是

（0，2

3

）、（0，2）、（0，

8 3

3

）、（0，8）

．

Answer 1

分析：設P點坐標為（a，b），a＞0，討論：（1）若∠OQP=90°，①當∠POQ=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系可得b=

3

a，而點P在反比例函數圖象上，則

4 3

a

=b，得到

4 3

a

=

3

a，可解得a=2，則b=2

3

，于是可確定Q點坐標；②當∠OPQ=30°，利用同樣方法可求Q點坐標；若∠OPQ=90°，作PA⊥y軸于A點，①當∠POQ=30°，根據（1）可得到P點坐標為（2，2

3

），再計算AQ的長，即可得到Q點坐標；②當∠PQO=30°，計算方法與②一樣．

解答：解：設P點坐標為（a，b），a＞0，
（1）若∠OQP=90°，
①當∠POQ=30°，則b=

3

a，
∵

4 3

a

=b，
∴

4 3

a

=

3

a，解得a=2，則b=2

3

，
∴Q點坐標為（0，2

3

），
②當∠OPQ=30°，則a=

3

b，
∵

4 3

a

=b，
∴

4 3

a

=

a

3

，解得a=2

3

，則b=2，
∴Q點坐標為（0，2）；
（2）若∠OPQ=90°，
作PA⊥y軸于A點，如圖，

①當∠POQ=30°，則b=

3

a，
∵

4 3

a

=b，
∴

4 3

a

=

3

a，解得a=2，則b=2

3

，
∴P點坐標為（2，2

3

），
∵∠QPA=30°，
∴AQ=

3

3

AP=

2 3

3

，
∴OQ=2

3

+

2 3

3

=

8 3

3

，
∴Q點坐標為（0，

8 3

3

）；
②當∠PQO=30°，則a=

3

b，
∵

4 3

a

=b，
∴

4 3

a

=

a

3

，解得a=2

3

，則b=2，
∴P點坐標為（2

3

，2）；
∵∠PQA=30°，
∴AQ=

3

AP=6，
∴OQ=6+2=8，
∴Q點的坐標為（0，8）．
∴符合條件的點Q的坐標為（0，2

3

）、（0，2）、（0，

8 3

3

）、（0，8）．
故答案為（0，2

3

）、（0，2）、（0，

8 3

3

）、（0，8）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：反比例函數y=

k

x

圖象上的點滿足其解析式；利用含30°的直角三角形三邊的關系可簡化計算；運用分類討論的思想使解題更加完整．