Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ=t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F．

（1）當t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；

（2）順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數關系式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC

∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形

∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°

∴△PEQ≌△NFM．

（2）∵點P是邊AB的中點，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝＝

∵△PEQ≌△NFM

∴MN＝PQ＝

又∵PQ⊥MN

∴S＝＝＝t2－t＋

∵0≤t≤2

∴當t＝1時，S最小值＝2．

綜上：S＝t2－t＋，S的最小值為2．

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而證得；

（2）分為兩種情況：①當E在AP上時，由點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面積S，由t范圍得到S的最小值；②當E在BP上時，同法可求S的最小值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，

∵QE⊥AB，MF⊥BC，

∴∠AEQ=∠MFB=90°，

∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，

∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，

又∵PQ⊥MN，

∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠EQP=∠FMN，

又∵∠QEP=∠MFN=90°，

∴△PEQ≌△NFM；

（2）分為兩種情況：①當E在AP上時，

∵點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=1-t，QE=2，

由勾股定理，得PQ=，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ=，

又∵PQ⊥MN，

∴S=t2-t+，

∵0≤t≤2，

∴當t=1時，S最小值=2．

②當E在BP上時，

∵點P是邊AB的中點，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=t-1，QE=2，

由勾股定理，得PQ=，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ=，

又∵PQ⊥MN，

∴S=t2-t+，

∵0≤t≤2，

∴當t=1時，S最小值=2．

綜上：S=t2-t+，S的最小值為2．