Question

（2013•岳陽）某數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖1，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．
（1）求證：DP=DQ；
（2）如圖2，小明在圖1的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并予以證明；
（3）如圖3，固定三角板直角頂點在D點不動，轉動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點P，另一邊交BC的延長線于點Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△DEP的面積．

Answer 1

分析：（1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結論：DP=DQ；
（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結論：PE=QE；
（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長度，從而可求得S_△DEQ=

150

7

，而△DEP≌△DEQ，所以S_△DEP=S_△DEQ=

150

7

．

解答：（1）證明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP與△CDQ中，

∠DAP=∠DCQ=90° AD=CD ∠ADP=∠CDQ

∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．

（2）猜測：PE=QE．
證明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP與△DEQ中，

DP=DQ ∠PDE=∠QDE=45° DE=DE

∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．

（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
設QE=PE=x，則BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP²+BE²=PE²，
即：2²+（14-x）²=x²，
解得：x=

50

7

，即QE=

50

7

．
∴S_△DEQ=

1

2

QE•CD=

1

2

×

50

7

×6=

150

7

．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S_△DEP=S_△DEQ=

150

7

．

點評：本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點．試題難度不大，但要注意認真計算，避免出錯．