Question

如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始沿線段BA以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？
（3）當t為何值時，△APQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．
所以

t

6

=

10-2t

10

，
解得t=

30

11

（秒），
②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB．
所以

t

10

=

10-2t

6

，
解得t=

50

13

（秒）；
∴當t為

50

13

秒或

30

11

秒時，△APQ與△AOB相似；

（3）過點O作QE⊥AO于點E
∵sin∠BAO=

QE

AQ

=

OB

AB

=

4

5

∴QE=AQ•sin∠BAO=

4

5

（10-2t）=8-

8

5

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QE=

1

2

t（8-

8

5

t）=-

4

5

t2+4t=-

4

5

（t-

5

2

）2+5．
∴當t=

5

2

時，△APQ的面積最大，最大面積是5個平方單位．