Question

【題目】如圖,直線y=2x+2與y軸交于A點,與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點M,過M作MH⊥x軸于點H,且tan∠AHO=2.

(1)求k的值;

(2)在y軸上是否存在點B,使以點B、A、H、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出B點坐標;如果不存在,請說明理由;

(3)點N(a,1)是反比例函數y=(x>0)圖象上的點,在x軸上有一點P,使得PM+PN最小,請求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】(1)4;(2)見解析.

【解析】分析：（1）對于y=2x+2，令x=0求出y的值，確定出A的坐標，得到OA的長，根據tan∠AHO的值，利用銳角三角函數定義求出OH的長，根據MH垂直于x軸，確定出M橫坐標，代入直線解析式求出縱坐標，確定出M的坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）存在，理由為：如圖所示，分兩種情況考慮：當四邊形P1AHM為平行四邊形時；當四邊形AP2HM為平行四邊形時，利用平行四邊形的性質確定出P的坐標即可；
（3）把M坐標代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標，過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P，此時PM+PN最小，利用待定系數法確定出直線MN1的解析式，即可確定出P的坐標．

詳解：(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2,

∵tan∠AHO=2,

∴OH=1.

∵MH⊥x軸,

∴點M的橫坐標為1.

∵點M在直線y=2x+2上,

∴點M的縱坐標為4,∴M(1,4).

∵點M在反比例函數y=(x>0)的圖象上,

∴k=1×4=4.

(2)存在,如圖所示:

當四邊形B1AHM為平行四邊形時,B1A=MH=4,

∴B1A+AO=4+2=6,即B1(0,6).

當四邊形AB2HM為平行四邊形時,MH=AB2=4,

∴OB2=AB2-OA=4-2=2,此時B2(0,-2),

綜上,存在滿足條件的點B,且B點坐標為(0,6)或(0,-2).　

(3)∵點N(a,1)在反比例函數y=(x>0)的圖象上,

∴a=4,即點N的坐標為(4,1).

過點N作N關于x軸的對稱點N1,連接MN1,交x軸于P,此時PM+PN最小.

∵N與N1關于x軸對稱,N點坐標為(4,1),

∴N1的坐標為(4,-1).

設直線MN1的解析式為y=kx+b(k≠0),

由解得

∴直線MN1的解析式為y=-x+.

令y=0,得x=,

∴P點坐標為.