Question

【題目】【特例發現】如圖1，在△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．求證：EP=FQ．

【延伸拓展】如圖2，在△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB，AC為直角邊，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射線GA交EF于點H．若AB=kAE，AC=kAF，請思考HE與HF之間的數量關系，并直接寫出你的結論．

【深入探究】如圖3，在△ABC中，G是BC邊上任意一點，以A為頂點，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射線GA交EF于點H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一問的結論還成立嗎？并證明你的結論．

【應用推廣】在上一問的條件下，設大小恒定的角∠IHJ分別與△AEF的兩邊AE、AF分別交于點M、N，若△ABC為腰長等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；

求證：當∠IHJ在旋轉過程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接寫出線段MN的最小值（請在答題卡的備用圖中補全作圖）．

Answer 1

【答案】(1)證明參見解析；(2)HE=HF；(3)成立，證明參見解析；(4)證明參見解析，MN最小值為1.

【解析】

試題分析：(1)特例發現：易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解題；(2)延伸拓展：過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．易證△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后證明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判斷△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判斷△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)應用推廣：由前一個結論得到△AEF為正三角形，再依次判斷△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出結論．

試題解析：(1)特例發現，如圖：

∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；

(2)延伸拓展，如圖：

∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；

(3)深入探究,如圖2，

在直線AG上取一點P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；

(4)應用推廣,如圖3，

在前面條件及結論，得到，點H是EF中點，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF為正三角形．又H為EF中點，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN．∵∠AEF=∠AFE，∴△HEM∽△HFN，∴，∵EH=FH，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN∽△HFN，∴△MHN∽△HFN∽△MEH，在△HMN中，∠MHN=60°，根據三角形中大邊對大角，∴要MN最小，只有△HMN是等邊三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN∴MN∥EF，∵△AEF為等邊三角形，∴MN為△AEF的中位線，∴MNmin=EF=×2=1．