Question

（2012•錫山區(qū)一模）某種規(guī)格小紙杯的側(cè)面是由一半徑為18cm、圓心角是60°的扇形OAB剪去一半徑12cm的同心圓扇形OCD所圍成的（不計(jì)接縫）（如圖1）．
（1）求紙杯的底面半徑和側(cè)面積（結(jié)果保留π）
（2）要制作這樣的紙杯側(cè)面，如果按照圖2所示的方式剪裁（不允許有拼接），至少要用多大的矩形紙片？
（3）如圖3，若在一張半徑為18cm的圓形紙片上剪裁這樣的紙杯側(cè)面，最多能裁出多少個(gè)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)底面周長等于扇形的弧長，根據(jù)弧長的計(jì)算公式以及圓的周長公式即可求得底面半徑，利用扇形的面積公式，紙杯的側(cè)面積就是兩個(gè)扇形的面積的差；
（2）連接AB，過O作OE⊥CD，交弧于F，則△OAB與△OCD是等邊三角形，則矩形的長等于等邊△OAB的邊長，寬等于扇形OAB的半徑與等邊△OCD的高的差，據(jù)此即可求解；
（3）首先在以O(shè)為圓心，18cm為半徑的大圓和以12cm為半徑的小圓組成的圓環(huán)中可剪出6個(gè)圓環(huán)，再在剩下的半徑是2cm的圓中作半徑是18cm的弧即可．

解答：解：（1）設(shè)紙杯底面半徑為r，
依題意，2πr=

1

6

×2π×12，r=2cm，
S_側(cè)=

1

6

π•OA²-

1

6

π•OD²=

1

6

π（18²-12²）=30πcm²．
（2）連接AB，過O作OE⊥CD，交弧于F，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△ABO是等邊三角形，∴AB=OA=18
又∵△CDO也是等邊三角形，
∴∠DCO=∠BAO，
∴AB∥CD，∴AB即為長方形的長．
OC=12，OE⊥CD，∴CE=DE=6，
∴EO=6

3

，∴EF=18-6

3

．
即所需長方形的兩邊長分別為：18cm和18-6

3

cm．
（3）∵扇形OAB的圓心角為60度，∴在以O(shè)為圓心，18cm為半徑的大圓和以12cm為半徑的小圓組成的圓環(huán)中可剪出6個(gè)圓環(huán)（即小紙杯的側(cè)面），如圖．
剩下的一個(gè)半徑12 cm 的圓中可按照如下方法剪圓環(huán)．作正六邊形EFGHID，顯然邊長為12cm，將DE，F(xiàn)G，HI兩邊延長，相交于點(diǎn)A，B，C則以A、B、C為圓心18cm為半徑畫弧，三條弧相切于DE、FG、HI的中點(diǎn)，顯然又可剪3個(gè)，
故最多可剪出9個(gè)紙杯的側(cè)面．

點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式以及弧長的計(jì)算公式，如何在半徑是12cm的圓中作出滿足條件的圖形是關(guān)鍵．