Question

如圖，已知拋物線經過坐標原點O及A（-2

3

，0），其頂點為B（m，3），C是AB中點，點E是直線OC上的一個動點 （點E與點O不重合），點D在y軸上，且EO=ED．
（1）求此拋物線及直線OC的解析式；
（2）當點E運動到拋物線上時，求BD的長；
（3）連接AD，當點E運動到何處時，△AED的面積為

3 3

4

？請直接寫出此時E點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據拋物線過原點和A（-2

3

， 0），得出拋物線對稱軸為x=-

3

，故可得出B點坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+

3

）²+3，由拋物線經過（0，0）可求出a的值，故可得出拋物線的解析式，
由C為AB的中點可得出C點坐標，進而得出直線OC的解析式；
（2）連接ED，由于點E是拋物線與直線OC的交點所以聯立二次函數與直線的解析式可求出E點坐標，過E作EF⊥y軸于F可求出OF的長，再由EO=ED可得出D點坐標，故可求出BD的長．
（3）連接DE、AE、AD，設E（x，-

3

3

x），由A，D兩點坐標即可得出OA=2

3

，OD=

10

3

，由S_{四邊形AODE}=S_△AOE+S_△DOE=S_△AED+S_△AOD即可得出結論．

解答：解：（1）∵拋物線過原點和A（-2

3

， 0），
∴拋物線對稱軸為x=-

3

．
∴B（-

3

， 3）．
設拋物線的解析式為y=a（x+

3

）²+3．
∵拋物線經過（0，0），
∴0=3a+3．
∴a=-1．
∴y=-（x+

3

）²+3，
=-x²-2

3

x．
∵C為AB的中點，A（-2

3

，0）、B（-

3

，3），
∴C（-

3 3

2

，

3

2

）．
∴直線OC的解析式為y=-

3

3

x；

（2）如圖1，連接ED．
∵點E為拋物線y=-x²-2

3

x與直線y=-

3

3

x的交點（點E與點O不重合）．
∴

y=- 3 3 x y=-x2-2 3 x

，解得

x=- 5 3 3 y= 5 3

或

x=0 y=0

（不合題意，舍去），
∴E（-

5 3

3

，

5

3

）；
過E作EF⊥y軸于F，可得OF=

5

3

，
∵OE=DE，EF⊥y軸，
∴OF=DF，
∴DO=2OF=

10

3

，
∴D（0，

10

3

），
∴BD=

( 3 )2+(3- 10 3 )2

=

2 7

3

；

（3）如圖2，連接DE、AE、AD，設E（-a，

3

3

a）（a＞0），
∵A（-2

3

，0），D（0，

2 3

3

a），
∴OA=2

3

，OD=

2 3

3

a，
∴S_△AED=S_△AOE+S_△DOE-S_△AOD=

1

2

×2

3

×

3

3

a+

1

2

×a×

2 3

3

a-

1

2

×2

3

×

2 3

3

a=

3

3

a²-a，
∴

3

3

a²-a=

3 3

4

，
解得a=

3 3

2

；
∴E（-

3 3

2

，

3

2

），
同理，當E在第四象限時，
E（

3

2

，-

1

2

）．
故E點的坐標為（-

3 3

2

，

3

2

）或（

3

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、三角形的面積公式等知識，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．