Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖像交于點P（n，2），與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，且AC=BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖像上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

（2）

解：假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴CE=DE=4，

∴CD=8，

將x=8代入反比例函數(shù)y= 得y=1，

∴D點的坐標(biāo)為（8，1）

∴則反比例函數(shù)圖像上存在點D，使四邊形BCPD為菱形，此時D坐標(biāo)為（8，1）．

【解析】（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三線合一得到O為AB中點，求出OB的長，確定出B坐標(biāo)，從而得到P點坐標(biāo)，將P與A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；（2）假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形BCPD為菱形，根據(jù)菱形的特點得出D點的坐標(biāo)．
【考點精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小；一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點一直線；兩個系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)才能正確解答此題．