Question

【題目】圖中是拋物線拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處觀測P處，仰角分別為α、β，且tanα= ， ，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系．

（1）求點P的坐標；
（2）水面上升1m，水面寬多少（ 取1.41，結果精確到0.1m）？

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點P作PH⊥OA于H，如圖．

設PH=3x，

在Rt△OHP中，

∵tanα= = ，

∴OH=6x．

在Rt△AHP中，

∵tanβ= = ，

∴AH=2x，

∴OA=OH+AH=8x=4，

∴x= ，

∴OH=3，PH= ，

∴點P的坐標為（3， ）

（2）

解：若水面上升1m后到達BC位置，如圖，

過點O（0，0），A（4，0）的拋物線的解析式可設為y=ax（x﹣4），

∵P（3， ）在拋物線y=ax（x﹣4）上，

∴3a（3﹣4）= ，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x（x﹣4）．

當y=1時，﹣ x（x﹣4）=1，

解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，

∴BC=（2+ ）﹣（2﹣ ）=2 =2×1.41=2.82≈2.8．

答：水面上升1m，水面寬約為2.8米．

【解析】本題主要考查了三角函數、運用待定系數法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識，出現角的度數（30°、45°或60°）或角的三角函數值，通常放到直角三角形中通過解直角三角形來解決問題．（1）過點P作PH⊥OA于H，如圖，設PH=3x，運用三角函數可得OH=6x，AH=2x，根據條件OA=4可求出x，即可得到點P的坐標；（2）若水面上升1m后到達BC位置，如圖，運用待定系數法可求出拋物線的解析式，然后求出y=1時x的值，就可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用關于仰角俯角問題，掌握仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角即可以解答此題．