Question

【題目】如圖，菱形ABCD的周長為8，對角線BD＝2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點；且滿足AE+CF＝2．

（1）求證：△BDE≌△BCF；

（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△BEF是等邊三角形．理由見解析

【解析】

（1）先判定△ABD與△BCD都是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠BDE=∠C=60°，再求出DE=CF，然后利用“邊邊角”證明兩三角形全等；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得BE=CF，全等三角形對應角相等可得∠DBE=∠CBF，然后求出∠EBF=60°，再根據等邊三角形的判定得解，利用旋轉變換解答．

（1）證明：∵菱形ABCD的邊長為2，對角線BD＝2，

∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，

∴△ABD與△BCD都是等邊三角形，

∴∠BDE＝∠C＝60°，

∵AE+CF＝2，

∴CF＝2﹣AE，

又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，

∴DE＝CF，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等邊三角形．理由如下：

由（1）可知△BDE≌△BCF，

∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，

∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，

∴△BEF是等邊三角形，

由圖可知，△BDE繞點B順時針旋轉60°即可得到△BCF．

故答案為：（1）見解析；（2）△BEF是等邊三角形．理由見解析．