Question

25、已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，連接DF、BF．
（1）探索DF、BF的數量關系和位置關系，并證明；
（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉45°，再連接CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論；
（3）將圖1中△ADE繞A點轉動任意角度（旋轉角在0°到90°之間），再連接CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=BF且DF⊥BF．
（3）延長BF至點G，使FG=BF，連接DB，DG，GE，可證明△EFG≌△CFB，得到EG=CB，∠EGF=∠CBF，繼而求得△DAB≌△DEG，得到DG=DB，∠ADB=∠EDG，所以∠BDG=∠ADE=90°，可得DF=BF且DF⊥BF．

解答：解：（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
證明：如圖1：
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
∵F為CE的中點，
∴DF=EF=CF=BF，
∴DF=BF；（2分）
∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
即：∠DFB=90°，
∴DF⊥BF．（3分）

（2）仍然成立．
證明：如圖2，延長DF交BC于點G，
∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE=CG，DF=FG，（4分）
∵AD=DE，AB=BC，
∴AD=CG，
∴BD=BG，（5分）
又∵∠ABC=90°，
∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

（3）仍然成立．證明：如圖3，延長BF至點G，使FG=BF，連接DB、DG、GE，
∵EF=CF，∠EFG=∠CFB，
∴△EFG≌△CFB，
∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB=BC，AB⊥CB，
∴EG=AB，EG⊥AB，
在△ADM和△EMN中，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB，
又∵∠AMD=∠EMN，
∴∠DAB=∠DGE，
∴△DAB≌△DEG，
∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）
∴∠BDG=∠ADE=90°，
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）

點評：主要考查了旋轉的性質，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質及其判定定理并會靈活應用是解題的關鍵．