Question

【題目】已知二次函數y＝x2﹣6mx+9m2+n（m，n為常數）

（1）若n＝﹣4，這個函數圖象與x軸交于A，B兩點（點A，B分別在x軸的正、負半軸），與y軸交于點C，試求△ABC面積的最大值；

（2）若n＝4m+4，當x軸上的動點Q到拋物線的頂點P的距離最小值為4時，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）當m＝0時，△ABC的面積最大為8；

（2）Q點的坐標為（﹣6，0）或（0，0）．

【解析】

（1）把n＝﹣4代入得到帶有m的解析式解析式y＝x2﹣6mx+9m2﹣4，再用帶有m的值表示出A、B、C的坐標，然后得出三角形面積判斷最大值；

（2）把n＝4m+4代入原解析式得到y＝（x﹣3m）2+4m+4，得出頂點P的坐標，再根據動點Q到拋物線的頂點P的距離最小時為PQ的橫坐標相同，即可得出Q的坐標.

解：（1）若n＝﹣4，則y＝x2﹣6mx+9m2﹣4，

當x＝0時，y＝9m2﹣4，

∴C（0，9m2﹣4），

∵這個函數圖象開口向上，與x軸交于A，B兩點（點A，B分別在x軸的正、負半軸），與y軸交于點C，

∴9m2﹣4＜0，

當y＝0時，x2﹣6mx+9m2﹣4＝0，

x1＝3m+2，x2＝3m﹣2，

∴A（3m+2，0），B（3m﹣2，0），

∵3m+2﹣（3m﹣2）＝4，

∴AB＝4，

∴S△ABC＝＝×4（﹣9m2+4）＝﹣2m2+8，

∵﹣2＜0，

∴當m＝0時，△ABC的面積最大為8；

（2）若n＝4m+4，則y＝x2﹣6mx+9m2+4m+4＝（x﹣3m）2+4m+4，

∴P（3m，4m+4），

當動點Q到拋物線的頂點P的距離最小值為4時，則Q為（3m，0）且4m+4＝±4，

解得m＝﹣2或m＝0，

∴Q點的坐標為（﹣6，0）或（0，0）．