Question

【題目】如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E是直線AB、CD之間的一點(diǎn)，連接EA、EC．

（1）探究猜想：

①若∠A＝20°，∠C＝50°，則∠AEC＝　 　．

②若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝　 　．

③猜想圖1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（提示：作EF∥AB）．

（2）拓展應(yīng)用：

如圖2，AB∥CD，線段MN把ABCD這個(gè)封閉區(qū)域分為I、Ⅱ兩部分（不含邊界），點(diǎn)E是位于這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）70°；65°；猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．（2）當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅰ時(shí)，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅱ時(shí)，∠EMB+∠END＝∠MEN.

【解析】

（1）①過點(diǎn)E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②、③根據(jù)①的過程可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．

本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．

解：（1）①如圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A＝20°，∠C＝50°，

∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，

∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；

故答案為：70°；

②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；

故答案為：65°；

③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．

理由：如圖1，過點(diǎn)E作EF∥CD，

∵AB∥DC

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代換）．

（2）當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅰ時(shí)，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，

理由：過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，

∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；

當(dāng)點(diǎn)E位于區(qū)域Ⅱ時(shí)，∠EMB+∠END＝∠MEN，

理由：過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，

∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．