Question

【題目】如圖，已知在矩形中，，分別是邊，的中點，，分別是線段，的中點．

（1）求證：；

（2）判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明你的結論；

（3）當________時，四邊形是正方形（只寫結論，不需證明）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形是菱形，詳見解析；（3）

【解析】

（1）求出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AM＝DM，根據全等三角形的判定定理推出即可；

（2）根據三角形中位線定理求出NE∥MF，NE＝MF，得出平行四邊形，求出BM＝CM，推出ME＝MF，根據菱形的判定推出即可；

（3）求出∠EMF＝90°，根據正方形的判定推出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M為AD中點，

∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）答：四邊形MENF是菱形．

證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，

∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，

∴NE＝FM，NE∥FM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

由（1）知△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分別是BM、CM的中點，

∴ME＝MF，

∴平行四邊形MENF是菱形；

（3）解：當四邊形MENF是正方形時，則∠EMF＝90°，

∵△ABM≌△DCM，

∴∠AMB＝∠DMC＝45°，

∴△ABM、△DCM為等腰直角三角形，

∴AM＝DM＝AB，

∴AD＝2AB，

當AB：AD＝1：2時，四邊形MENF是正方形．

故答案為：1：2．