Question

【題目】如圖，在ABCD中，AC為對角線，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中線．

（1）用無刻度的直尺畫出△ABC的高CH（保留畫圖痕跡）；
（2）求△ACE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接BD，BD與AE交于點F，連接CF并延長到AB，則它與AB的交點即為H．

理由如下：

∵BD、AC是ABCD的對角線，

∴點O是AC的中點，

∵AE、BO是等腰△ABC兩腰上的中線，

∴AE=BO，AO=BE，

∵AO=BE，

∴△ABO≌△BAE（SSS），

∴∠ABO=∠BAE，

△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，

∵∠BAC=∠ABC，

∴∠EAC=∠OBC，

由 可得△AFC≌BFC（SAS）

∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC頂角平分線，

所以CH是△ABC的高；

（2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，

∴AH= AB=3，

∴CH= =4，

∴S△ABC= ABCH= ×6×4=12，

∵AE是△ABC的中線，

∴S△ACE= S△ABC=6．

【解析】此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理以及三角形中線的性質．注意三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分．（1）連接BD，BD與AE交于點F，連接CF并延長到AB，與AB交于點H，則CH為△ABC的高；（2）首先由三線合一，求得AH的長，再由勾股定理求得CH的長，繼而求得△ABC的面積，又由AE是△ABC的中線，求得△ACE的面積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．