Question

【題目】已知正方形的對角線，相交于點．

（1）如圖1，，分別是，上的點，與的延長線相交于點．若，求證：；

（2）如圖2，是上的點，過點作，交線段于點，連結交于點，交于點．若，

①求證：；

②當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質，可根據三角形全等的判定（ASA）與性質求證即可；

（2）①同（1）中，利用上面的結論，根據SAS可證的結論；

②設CH=x，然后根據正方形的性質和相似三角形的判定與性質可得，然后列方程求解即可.

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AC⊥BD，OD=OC

∴∠DOG=∠COE=90°

∴∠OEC+∠OCE=90°

∵DF⊥CE

∴∠OEC+∠ODG=90°

∴∠ODG=∠OCE

∴△DOG≌△COE（ASA）

∴OE=OG

（2）①證明：∵OD=OC，∠DOG=∠COE=90°

又OE=OG

∴△DOG≌△COE（SAS）

∴∠ODG=∠OCE

②解：設CH=x，

∵四邊形ABCD是正方形，AB=1

∴BH=1-x

∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°

∵EH⊥BC

∴∠BEH=∠EBH=45°

∴EH=BH=1-x

∵∠ODG=∠OCE

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE

∴∠HDC=∠ECH

∵EH⊥BC

∴∠EHC=∠HCD=90°

∴△CHE∽△DCH

∴

∴HC2=EH·CD

得x2+x-1=0

解得，（舍去）

∴HC=