Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A，B，C，已知點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），點C在y軸的正半軸上，且∠CAB=30°，若直線l：y=x+m從點C開始沿y軸向下平移．

（1）當直線l上點D滿足DA=DC且∠ADC=90°時，m的值為 _________ ；

（2）以動直線l為對稱軸，線段AC關于直線l的對稱線段A′C′與拋物線有交點，寫出m的取值范圍 _________．

Answer 1

【答案】（1）2﹣3；（2）﹣＜m＜．

【解析】

試題分析：如圖1所示：過點D作DE⊥y軸，垂足為E，過點A作AF⊥DE，垂足為F．

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠CDE=90°．

∵∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠DAF=∠CDE．

∵在Rt△AFD和Rt△DEC中，

∴Rt△AFD≌Rt△DEC．

∴AF=DE，DF=CE．

設點D的坐標為（x， x+m），則x=x+m=①，x+3=﹣x﹣m②．

①+②得：2x+3=，

解得：x=．

∴=×+m．

解得：m=2﹣3．

（2）∵OA=3，∠CAB=30°，

∴OC=．

∴C（0，）．

①當直線l經過點C時．

∵將C（0，）代入y=x+m得：

∴m=．

②如圖2所示：

設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

∵將C（0，）代入得：﹣3a=，解得：a=﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．

∵點A與點A′關于l對稱，

∴AA′⊥l．

∴直線AA′的一次項系數為﹣．

設直線AA′的解析式為y=﹣x+b．

∵將A（﹣3，0）代入得：+b=0，解得：b=﹣

∴直線AA′的解析式為y=﹣x﹣．

將y=﹣x﹣代入y=﹣x2﹣x+得：﹣ x﹣=﹣x2﹣x+．

整理得：x2+x﹣6=0．

解得：x1=2，x2=﹣3．

∵將x=2代入y=﹣x﹣得：y=﹣，

∴點A′的坐標為（2，﹣）．

∴D（﹣，﹣）．

將D（﹣，﹣）代入y=+m得：﹣ +m=﹣，解得：m=﹣．

∴m的取值范圍是﹣＜m＜．

故答案為：（1）2﹣3；（2）﹣＜m＜．