Question

【題目】小明手上一張扇形紙片OAB．現要求在紙片上截一個正方形，使它的面積盡可能大．

小明的方案是：如圖，在扇形紙片OAB內，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F在OB上；連接OE并延長交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥OA交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．

（1）你認為小明畫出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請證明．如果不是，請說明理由．

（2）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（結果精確到0.1cm）．

（3）（1）中小明畫出的四邊形GHIJ如果是正方形，我們把它叫做扇形的內接正方形（四個頂點分別在扇形的半徑和弧上）．請你再畫出一種不同于圖（1）的扇形的內接正方形（保留畫圖痕跡，不要求證明）

Answer 1

【答案】（1）是，詳見解析；（2）正方形GHIJ的面積是4.3cm2；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，利用矩形的判定得出四邊形JGHI是矩形，進而利用平行線分線段成比例定理得出即可；

（2）正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，表示出GO= ， ，再利用勾股定理求解；

（3）畫一個使正方形一邊平行于AB的一個正方形即可．

（1）答：是．

證明：∵在扇形紙片OAB內，畫正方形CDEF，IH∥ED交OA于H，

IJ∥OA交OB于J，JG∥FC交OA于G，

∴HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，

∴∠JGH=∠IHG=∠JIH=90°，

∴四邊形JGHI是矩形，

∵HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，

∴，，

∴，

∵FE=DE，

∴JI=HI，

∴矩形JGHI是正方形，

（2）設正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，

∵∠AOB=30°，OA=6cm，

在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，

∴GO=x，

∴HO=x+x，

∴，

x2=≈4.3，

所以正方形GHIJ的面積是4.3cm2．

（3）如圖：