Question

【題目】設二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．

（1）當△ABC為等腰直角三角形時，求b2﹣4ac的值；
（2）當△ABC為等邊三角形時，求b2﹣4ac的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當△ABC為等腰直角三角形時，過C作CD⊥AB于D，則AB=2CD；

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴△＞0，

∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac，

∵AB= ，

又∵CD= （a≠0），

∴ = ，

即 = ，

∴b2﹣4ac= ，

∵b2﹣4ac≠0，

∴b2﹣4ac=4

（2）

解：如圖，當△ABC為等邊三角形時，

由（1）可知CE= AE= AB，

∴ = × ，

∵b2﹣4ac＞0，

∴ = ，

∴b2﹣4ac=12．

【解析】（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b2﹣4ac＞0；可求得線段AB的表達式，利用公式法可得到頂點C的縱坐標，進而求得斜邊AB上的高（設為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據這個等量關系求出b2﹣4ac的值；（2）當△ABC為等邊三角形時，解直角△ACE，得CE= AE= AB，據此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對等邊三角形的性質的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．