Question

已知：如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系xOy中，使OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC，將△ABC沿AC翻折，點B落在該坐標平面內，設這個落點為D，CD交x軸于點E．如果CE=5，OC、OE的長是關于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個根，并且OC＞OE．
（1）求點D的坐標；
（2）如果點F是AC的中點，判斷點（8，-20）是否在過D、F兩點的直線上，并說明現由．

Answer 1

（1）∵OC、OE的長是關于x的方程x²+（m-1）x+12=0的兩個根，
設OC=x₁，OE=x₂，x₁＞x₂．
∴x₁+x₂=-（m-1）．x₁•x₂=12．
在Rt△COE中，
∵OC²+OE²=CE²，CE=5．
∴x₁²+x₂²=5²，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=25．
∴[-（m-1）]²-2×12=25，
解這個方程，得m₁=-6，m₂=8．
∵OC+OE=x₁+x₂=-（m-1）＞0，
∴m=8不符合題意，舍去．
∴m=-6．
解方程x²-7x+12=0，得
x₁=4，x₂=3．
∴OC=4，OE=3．
△ABC沿AC翻折后，點B的落點為點D．過D點作DG⊥x軸于G．DH⊥y軸于H．
∴∠BCA=∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA=∠CAE．
∴∠CAE=∠ACD．
∴EC=EA．
在Rt△COE與Rt△ADE中，
∵

OC=AD EC=EA

∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED=3，AD=4，EA=5．
在Rt△ADE中，DG•AE=ED•AD，
∴DG=

ED•AD

AE

=

12

5

，
在△CHD中，OE∥HD，
∴

CE

CD

=

CE

HD

，

5

5+3

=

3

HD

，
∴HD=

24

5

，
由已知條件可知D是第四象限的點，
∴點D的坐標是（

24

5

，-

12

5

）；

（2）∵F是AC的中點，
∴點F的坐標是（4，2），
設過D、F兩點的直線的解析式為y=kx+b．
∴

4k+b=2 24 5 k+b=- 12 5

，解得

k=- 11 2 b=24

，
∴過點D、F兩點的直線的解析式為y=-

11

2

x+24，
∵x=8，y=-20滿足上述解析式，
∴點（8，-20）在過D、F兩點的直線上．