Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長交x軸于N．
（1）求⊙M的半徑．
（2）求線段AC的長．
（3）若D為OA的中點，求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB長是x²-mx+12=0的兩根
∴OA•OB=12∴OB=3故B（0，3）（2分）
∵OB為直徑
∴半徑MB=

3

2

（4分）

（2）連接OC
∵OB是⊙M直徑
∴OC⊥BC（5分）
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=

42+32

=5（6分）
∴OC•5=3•4
∴OC=

12

5

（7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

（8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO（9分）
又CD是Rt△OCA斜邊上中線
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO（10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC（11分）
∴CD是⊙M的切線（12分）
（注：由于解法不一，可以視方法的異同與合理性分步計分）