Question

（2013•海淀區一模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-2mx+m²+m的頂點為C．
（1）求點C的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）直線y=x+2與拋物線交于A、B兩點，點A在拋物線的對稱軸左側．
①若P為直線OC上一動點，求△APB的面積；
②拋物線的對稱軸與直線AB交于點M，作點B關于直線MC的對稱點B'．以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點Q，使得QB′+

2

2

QB的值最小，則這個最小值為

10

．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出點C的坐標；
（2）①聯立直線與拋物線求出交點A、B的坐標，然后求出AB的長，再根據AB∥OC求出兩平行線間的距離，最后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
②根據A、B的坐標求出AM、BM的長，再求出點M的坐標，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，然后利用兩邊對應成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出QN=

2

2

QB，然后根據三角形任意兩邊之和大于第三邊判斷出Q、N、B′三點共線時QB′+

2

2

QB最小，然后噶呢句勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m=（x-m）²+m，
∴頂點坐標為C（m，m）．

（2）①∵y=x+2與拋物線y=x²-2mx+m²+m交于A、B兩點，
∴聯立

y=x2-2mx+m2+m y=x+2

，
解得

x1=m-1 y1=m+1

，

x2=m+2 y2=m+4

，
∵點A在點B的左側，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=

(m-1-m-2)2+(m+1-m-4)2

=3

2

，
∵直線OC的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=x+2，
∴AB∥OC，兩直線AB、OC之間距離h=2×

2

2

=

2

，
∴S_△APB=

1

2

AB•h=

1

2

×3

2

×

2

=3；

②∵A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AM=1×

2

=

2

，BM=2×

2

=2

2

，
由M點坐標（m，m+2），C點坐標（m，m）可知以MC為半徑的圓的半徑為 （m+2）-m=2
取MB的中點N，連接QB、QN、QB′，
則MN=

1

2

BM=

1

2

×2

2

=

2

，
∵

MN

QM

=

QM

BM

=

2

2

，∠QMN=∠BMQ，
∴△MNQ∽△MQB，
∴

QN

QB

=

MN

QM

=

2

2

，
∴QN=

2

2

QB，
由三角形三邊關系，當Q、N、B′三點共線時QB′+

2

2

QB最小，
∵直線AB的解析式為y=x+2，
∴直線AB與對稱軸夾角為45°，
∵點B、B′關于對稱軸對稱，
∴∠BMB′=90°，
由勾股定理得，QB′+

2

2

QB最小值=

B′M2+MN2

=

(2 2 )2+ 2 2

=

10

．
故答案為：

10

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要利用了二次函數解析式的轉化，聯立兩函數解析式求交點坐標，勾股定理的應用，三角形的面積的求解，相似三角形的判定與性質，本題難點在于（2）②，作輔助線構造出相似三角形并得到與

2

2

QB相等的線段是解題的難點，也關鍵．