Question

【題目】如圖，已知AB∥CD，現將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F.

(1)當△PMN所放位置如圖①所示時，求出∠PFD與∠AEM的數量關系；

(2)當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD－∠AEM＝90°；

(3)在(2)的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）見解析；（3）∠N＝45°.

【解析】

（1）如圖，由平行線的性質得出∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，即可得出結果；
（2）設PN交AB于點G，由平行線的性質得出∠PFD＝∠PGB，再由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可得出結果；
（3）由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，再由平行線的性質得出∠NFO＝120°，然后由三角形的內角和定理即可得出結果．

解：(1)如圖，過點P作PH∥AB.

∵AB∥CD，

∴PH∥CD，

∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM.

∵∠MPN＝90°，

∴∠NPH＋∠HPM＝90°，

∴∠PFD＋∠AEM＝90°.

(2)證明：設PN交AB于點G.

∵AB∥CD，

∴∠PFD＝∠PGB.

∵∠PGB－∠PEB＝90°，∠PEB＝∠AEM，

∴∠PFD－∠AEM＝90°.

(3)由(2)得，∠PFD＝90°＋∠PEB＝120°，

∴∠NFO＝120°，

∴∠N＝180°－∠DON－∠NFO＝45°.