Question

（2010•臺灣）如圖，有一圓內接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為何（ ）

A．40
B．50
C．60
D．80

Answer 1

【答案】分析：過C作CL⊥AD于L，連接HE，設正八邊形的邊長為a，AD=h；先根據△ADE的面積求出矩形ADEH的面積，再根據正多邊形內角和定理求出各內角的度數，判斷出△CDL的形狀，求出邊長；進一步可求出梯形ABCD的面積，根據S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH即可解答．
解答：解：過C作CL⊥AD于L，連接HE，則四邊形ADEH是矩形；
設正八邊形的邊長為a，AD=h，
則S_△ADE=DE•AD=ah=10，ah=20，即S_矩形ADEH=20，
∵正八邊形的內角度數為=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，設CL=x，
∴CD²=CL²+LD²，即a²=x²+x²，x=a，
∴AD=h=a+a，
∵ah=20，
∴（1+）a²=20，a²=，
∴S_梯形ABCD=====10，
同理，S_梯形EFGH=10，
∴S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH=10+10+20=40．
故選A．

另解：取AE中點I，則點I為圓的圓心，圓內接正八邊形ABCDEFGH是由8個與△IDE全等的三角形構成．易得△IDE的面積為5，則圓內接正八邊形ABCDEFGH為8×5=40．
點評：本題比較復雜，涉及到正多邊形的性質、直角三角形的性質及梯形的面積公式，解答此題的關鍵是作出輔助線構造出直角三角形解答．