Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從
A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都
停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（Ⅰ）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)你用t表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，并求出P、Q兩點(diǎn)間的距離
的最大值；
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）分兩種情況考慮：
當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，過(guò)Q作QE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，連接PQ，如圖1所示：

∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理得：AB=10，
∵AQ=2t，AP=t，
∴==，
整理得：PE=t，QE=t，
根據(jù)勾股定理得：PQ2=QE2+PE2 ，
整理得：PQ=t；
當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，連接PQ，如圖2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t﹣10，CQ=BC﹣BQ=6﹣（2t﹣10）=16﹣2t，
由AP=t，AC=8，得到PC=8﹣t，
根據(jù)勾股定理得：PQ==，
當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ的值最大，
則當(dāng)t=5時(shí)，PQ最大值為3；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：
當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，如圖1，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積為S△AQP ，
此時(shí)S=APQE=tt=t2（0＜t≤5）；
當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積為S四邊形ABQP ，
此時(shí)S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40（5＜t≤8）．
綜上，經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為．
【解析】（Ⅰ）分Q在AB邊上與Q在BC邊上，分別如圖1和圖2所示，表示出PQ的長(zhǎng)，當(dāng)Q與B重合時(shí)，PQ取得最大值，求出即可；
（Ⅱ）分兩種情況考慮：當(dāng)Q在AB邊上時(shí)，如圖1，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積為S△AQP；當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積為S四邊形ABQP ， 分別表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可．