Question

【題目】如圖1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，動點P從點A出發，以3cm/s的速度向點O運動，直到點O為止；動點Q同時從點C出發，以2cm/s的速度向點B運動，與點P同時結束運動．

(1)當出發　 　時，點P和點Q之間的距離是10cm；

(2)逆向發散：當運動時間為2s時，P、Q兩點的距離為　 　cm；當運動時間為4s時，P、Q兩點的距離為　 　cm；

(3)探索發現：如圖2，以點O為坐標原點，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm長為單位長度建立平面直角坐標系，連接AC，與PQ相交于點D，若雙曲線y＝過點D，問k的值是否會變化？若會變化，說明理由；若不會變化，請求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）s或s；（2）6，2；（3）不會變化，k＝．

【解析】

（1）作PH⊥BC，根據勾股定理求出QH，分點H在BQ之間、點H在CQ之間兩種情況計算；

（2）根據題意分別求出QH的長，根據勾股定理計算，得到答案；

（3）作DE⊥AO于點E，根據相似三角形的性質得到，證明△AED∽△AOC，根據相似三角形的性質求出點D的坐標，得到k的值．

解：（1）作PH⊥BC于點H，則四邊形APHB為矩形，

∴PH＝AB＝6，BH＝AP＝3t，

當PQ＝10時，由勾股定理得，QH＝，

當點H在BQ之間時，QH＝BC﹣BH﹣CQ＝16﹣5t，

則16﹣5t＝8，

解得，t＝，

當點H在CQ之間時，QH＝CQ﹣（BC﹣BH）＝5t﹣16，

則5t﹣18＝8，

解得，t＝，

則當t＝s或s時，點P和點Q之間的距離是10cm，

故答案為：s或s；

（2）當t＝2s時，QH＝16﹣5t＝6，

則PQ＝＝，

當當t＝4s時，QH＝5t﹣16＝4，

則PQ＝，

故答案為：；；

（3）k的值不會變化，

理由如下：作DE⊥AO于點E，

∵OA∥BC，

∴△ADP∽△CDQ，

∴，

∵DE⊥AO，∠AOC＝90°，

∴DE∥OC，

∴△AED∽△AOC，

∴，即，

解得，AE＝，DE＝，

∴OE＝AO﹣AE＝，

∴點D的坐標為（，），

則k＝×＝．